第六章 线性方程组解法
第三节 正负术
方程术会导致负数的产生。这里有两个途径,一是直除法消元过程中常出现小数减大数的情形,如方程章第3问;二是方程本身常出现负系数,如第4问,依题意列出5x-11=7y,移项便得5x-7y=11。因此《九章》引入了负数概念和正负术。刘徽说:“今两算得失相反,要令正负以名之。”(《九章算术·方程章注》)这是关于正负数的明确定义。《九章》给出:
正负术曰:同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。
这是著名的正负数加减法则。同名、异名是现今之同号、异号。前四句讲减法,其意义是:若二数同号,则其差的绝对值是其绝对值之差:(±a)-(±b)=±(a-b),a≥b>0;(±a)-(±b)=?(b-a),0<a≤b。若二数异号,则其差的绝对值是其绝对值之和:(±a)-(?b)=±(b+a);正数没有与之对减的数,则为负数:0-(+a)=-a,a>0;负数没有与之对减的数,则为正数:0-(-a)=a,a>0。后四句是加法法则:(±a)+(?b)=±(a-b),a≥b>0;(±a)+(?b)=?(b-a),0<a≤b;(±a)+(±b)=±(a+b),a、b>;0;0+(+a)=a;0+(-a)=-a,a>0。